Question

已知点的序列A_n（x_n，0），n∈N，其中x₁=0，x₂=a（a＞0），A₃是线段A₁A₂的中点，A₄是线段A₂A₃的中点，…，A_n是线段A_n-2A_n-1的中点，…．
（Ⅰ）写出x_n与x_n-1、x_x-2之间的关系式（n≥3）；
（Ⅱ）设a_n=x_n+1-x_n，计算a₁，a₂，a₃，由此推测数列{a_n}的通项公式，并加以证明；
（Ⅲ）求．

Answer

（I）根据题意，An是线段An-2An-1的中点，可得xn与xn-1、xn-2之间的关系式，
（II）由题意知a1=a，a2=-a，a3=a，由此推测：an=（-）n-1a（n∈N*）再进行证明．
（III）首先求出xn，然后根据（II）知{an}是公比为的等比数列，求出结果．
【解析】
（I）当n≥3时，
（II）a1=x2-x1=a．
由此推测．a（n∈N）
因为a1=a＞0，且  
 =（n≥2）
所以．
（III）【解析】
当n≥3时，有xn=（xn-xn-1）+（xn-1-xn-2）+…+（x2-x1）+x1=an-1+an-2+…+a1，
由（II）知{an}是公比为的等比数列，所以．