Question

由计算机随机选出大批正整数，取其最高位数字（如 35为3，110为1）的次数构成一个分布，已知这个分布中，数字1，2，3，…，9出现的概率正好构成一个首项为的等差数列．现从这批正整数中任取一个，记其最高位数字为x （x=1，2，…，9）．
（1）求x的概率分布；
（2）求x的期望Ex．

Answer

（1）设出数列的公差，根据数字1，2，3，…，9出现的概率正好构成一个首项为的等差数列，和分布列中所有的概率之和是1，得到数列的方差，得到各个变量对应的概率，写出分布列．
（2）根据上一问的分布列求出变量的期望值．
【解析】
（1）根据题意设P（ξ=n）=an（n═1，2，…，9），
公差为d，
∵数字1，2，3，…，9出现的概率正好构成一个首项为的等差数列
∴×9+×9×8d=1，
∴d=，
∴P（ξ=n）=-（n-1）（n═1，2，…，9）
∴分布如下：
ξ 1 2 3 4 5 6 7 8 9
P

（2）根据第一问的分布列写出期望
Ex==