Question

椭圆的中心在原点O，短轴长为，左焦点为F（-c，0）（c＞0），相应的准线l与x轴交于点A，且点F分的比为3，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若PF⊥QF，求直线PQ的方程．

Answer

（1）设椭圆的方程为 设=1，，由已知得到-c=3c，又c2+（）2=a2，解得 a，c，最后写出椭圆的方程和离心率．
（2）设直线PQ的方程为y=k（x+4），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量垂直的坐标关系公式即可求得k值，从而解决问题．
【解析】
（1）设=1，则c2+（）2=a2，准线l：x=，
由点F分的比为3，得-c=3c，
解得a2=4，c=1，得椭圆方程为：．（5分）
（2）设PQ：y=k（x+4），P（x1，y1），Q（x2，y2），F（-1，0）．
∵PF⊥QF，∴（x1+1）（x2+1）+y1y2=0，
即（x1+1）（x2+1）+k2（x1+4）（x2+4）=0，
（1+k2）x1x2+（1+4k2）（x1+x2）+（1+16k2）=0（4分）
联立，消去y得（3+4k2）x2+32k2x+64k2-12=0
∴x1x2=，x1+x2=（4分）
代入化简得8k2=1，∴k=±．
∴直线PQ的方程为y=（x+4）或y=（x+4）．（2分）