Question

数列{a_n}的前n项和S_n满足：t（S_n+1+1）=（2t+1）S _n  n∈N*．
（1）求证{a_n}是等比数列；
（2）若{a_n}的公比为f（t），数列{b_n}满足：b₁=1，b_n+1=f（），求{b_n}的通项公式；
（3）定义数列{c_n}为：c_n=，求{c_n}的前n项和T_n，并求．

Answer

（1）将Sn与an的递推关系仿写一个新的等式，两个式子相减；利用等比数列的定义证得{an}是等比数列．
（2）利用等差数列的定义及等差数列的通项公式求出bn．
（3）据数列的通项公式的特点：是分式形式，且分子是常数，分母是等差数列两项的乘积，所以利用裂项法求出数列的前n项和，求出和的极限值．
【解析】
（1）由：t（Sn+1+1）=（2t+1）Sn，
得t（Sn+1）=（2t+1）Sn-1，
相减得：=2+，
∴{an}是等比数列．
（2）bn+1=f（）=2+bn，
∴bn+1-bn=2，b1=1，
得bn=2n-1．
（3）cn===
∴Tn==．
∴=．（5分）