Question

已知函数，存在实数x₁，x₂满足下列条件：①x₁＜x₂；②f′（x₁）=f′（x₂）=0；③|x₁|+|x₂|=2
（1）证明：0＜a≤3；（2）求b的取值范围；
（3）若函数h（x）=f′（x）-6a（x-x₁），证明：当x₁＜x＜2时|h（x₁）|≤12a．

Answer

（1）由已知条件②可知，方程f′（x）=0有两个根，则，又x1＜x2，可知x1＜0，x2＞0，
再由|x1|+|x2|=2可得，x1≤-1，0＜x2≤1，所以x1•x2≤-1，
即≤-1，解得0＜a≤3，从而命题得证．
（2）由（1）知x2-x1=2，于是（x2-x1）2=（x2+x1）2-4x1•x2==4，整理得b=9a2-6a3，a∈（0，3]，
利用导数可求得-81≤b≤3，由已知可知b≥0，故0≤b≤3．
（3）∵h（x）=f′（x）-6a（x-x1），∴h（x1）=f′（x1）=3ax12+2x1-a2，由（1）知代入h（x1）表达式
，即h（x1）=-a2+3a-，由（2）知b=9a2-6a3，于是h（x1）=a2且0＜a≤3，所以0＜a2≤12a恒成立．故|h（x1）|≤12a得证．
（1）证明：由已知条件②可知，方程f′（x）=有两个根，由韦达定理得，
又x1＜x2，可知x1＜0，x2＞0，再由|x1|+|x2|=2可得，x1≤-1，0＜x2≤1，所以x1•x2≤-1，
即≤-1，解得0＜a≤3，从而命题得证．
（2）【解析】
由（1）知x2-x1=2，于是（x2-x1）2=（x2+x1）2-4x1•x2==4，整理得b=9a2-6a3，a∈（0，3]，
∵b′（a）=18a-18a2，a∈（0，3]，令b′（a）=18a-18a2=0，解得a=0或a=1，又b（0）=0，b（1）=3，b（3）=-81
∴-81≤b≤3，由已知可知b≥0，故0≤b≤3．
（3）证明：∵h（x）=f′（x）-6a（x-x1），∴h（x1）=f′（x1）=3ax12+2x1-a2，由（1）知代入h（x1）表达式，即h（x1）=-a2+3a-，由（2）知b=9a2-6a3，于是h（x1）=a2且0＜a≤3，所以0＜a2≤9，即0＜a2≤12恒成立．
故当x1＜x＜2时|h（x1）|≤12a，命题得证．