Question

如图1，在边长为3的正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE=CF=CP=1，今将△BEP、△CFP分别沿EP、FP向上折起，使边BP与边CP所在的直线重合（如图2），B、C折后的对应点分别记为B、C₁．
（1）求证：PF⊥平面B₁EF；
（2）求AB₁与平面AEPF所成的角的正弦值．

Answer

（1）连接EF，根据已知条件我们根据勾股定理及等腰三角形形的性质，我们可以得到PF⊥EF，PF⊥B1F，结合直线与平面垂直的判定定理，即可得到PF⊥平面B1EF；
（2）连接AB1，作B1O⊥EF于O，结合（1）的结论，我们可得平面B1EF⊥平面AEPF，进而得到B1O⊥平面EPF，即∠B1AO就是AB1与平面AEPF所成的角，解三角形B1AO即可求出AB1与平面AEPF所成的角的正弦值．
【解析】
（1）证明：连接EF，由已知得∠EPF=60°，且FP=1，EP=2，
故PF⊥EF，又FC1=PB1，
故PF⊥B1F，
∵EF∩B1F=F，故PF⊥平面B1EF；
（2）连接AB1，作B1O⊥EF于O，
由（1）知PF⊥平面B1EF，而PF⊂平面AEPF，
故平面B1EF⊥平面AEPF
∵平面B1EF∩平面AEPF=EF
∴B1O⊥平面EPF
∠B1AO就是AB1与平面AEPF所成的角
∵AE∥PF，∴AE⊥EB1，
∵AE=1，EB1=2
∴B1A=
在△B1EF中，B1E=2，B1F=EF==
∴cos∠B1FE=
则B1O=B1F•sin∠B1FE=
故sin∠B1AO==