Question

已知顶点在原点、焦点F在y轴正半轴上的抛物线Q₁过点（2，1），抛物线Q₂与Q₁关于x轴对称．
（I）求抛物线Q₂的方程；
（II）过点F的直线交抛物线Q₁于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂），过A、B分别作Q₁的切线l₁，l₂，记直线l₁与Q₂的交点为M（m₁，n₁），N（m₂，n₂）（m₁＜m₂），求证：抛物线Q₂上的点S（s，t）若满足条件m₂s=4，则S恰在直线l₂上．

Answer

（I）设出抛物线Q1对应的标准方程，代入点（2，1），则求得抛物线Q1的方程；然后根据抛物线Q2与Q1关于x轴对称，则焦点关于x轴对称，开口方向相反，显然易得抛物线Q2的方程．
（II）先设出直线AB的方程；然后与抛物线Q1联立方程组并消y，得关于x的一元二次方程，并由韦达定理表示出x1x2的值；再根据直线l1、l2是抛物线Q1的切线，则通过导数求其斜率，进而表示出l1、l2的方程；由于点S（s，t）的横坐标s与m2有等量关系m2s=4，则从点N（m2，n2）入手，把n2用m2的代数式替换，并根据点N在直线l1上建立等量关系式；再根据
x1x2=-4用x2替换x1，经变形使刚才的等式与直线l2的方程形式更加接近；最后由点S（s，t）在Q2上，满足t=-，则代入形如l2方程的等式，使点S（s，t）的坐标s、t恰好满足直线l2的方程．则问题解决．
【解析】
（I）设抛物线Q1方程为x2=2py（p＞0），
依题意知4=2p∴p=2．
∴Q1：x2=4y
又∵抛物线Q2与Q1关于x轴对称
∴抛物线Q2的方程为：x2=-4y．
（II）由题意知AB 的斜率存在，且过焦点（0，1），所以设直线方程为：y=kx+1．
联立消y得：x2-4kx-4=0．则x1x2=-4．
∵抛物线Q1的方程为x2=4y，即y=．
∴y′=x，则直线l1的方程为y-y1=（x-x1）
又y1=∴直线l1的方程为y=x-
同理可得直线l2的方程为y=x-
∵N（m2，n2）在直线l1上，且n2=-
∴=m2-①．
又∵x1x2=-4，m2s=4∴x1=-，m2=
则代入①式得：=+
两边同乘以s2x22，得=s+，即-=s-
而t=-，∴t=s-，即点S（s，t）满足直线l2的方程．
故点S恰在直线l2上．