Question

已知：椭圆（a＞b＞0），过点A（-a，0），B（0，b）的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率大于零的直线过D（-1，0）与椭圆交于E，F两点，若，求直线EF的方程；
（3）对于D（-1，0），是否存在实数k，直线y=kx+2交椭圆于P，Q两点，且|DP|=|DQ|？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由直线AB的倾斜角，可知斜率；由S△OAB的面积公式，可得a，b的值；从而得椭圆的方程．
（2）直线EF过点D（-1，0），可设为x=my-1（m＞0）代入椭圆方程，可得关于y的方程；设E（x1，y1），F（x2，y2），由，可得y1、y2的关系；由y1+y2，y1y2，从而得m的值，以及直线EF的方程．
（3）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），把y=kx+2代入椭圆方程，得关于x的方程（*）；x1，x2是此方程的两个相异实根．设PQ的中点为M，可表示xM，yM；由|DP|=|DQ|，可得DM⊥PQ，从而得kDM的值，得k的值；验证方程（*）无两相异实根，知满足条件的k不存在．
【解析】
（1）由，，得，b=1，
所以，椭圆方程为：；
（2）设直线EF的方程为：x=my-1（m＞0），代入，得（m2+3）y2-2my-2=0，
设E（x1，y1），F（x2，y2），由，得y1=-2y2．
由，；
得，∴m=1，m=-1（舍去），所以，直线EF的方程为：x=y-1，即x-y+1=0．
（3）记P（x1，y1），Q（x2，y2），将y=kx+2代入，
得（3k2+1）x2+12kx+9=0（*），x1，x2是此方程的两个相异实根．
设PQ的中点为M，则，；
由|DP|=|DQ|，得DM⊥PQ，∴，∴3k2-4k+1=0，得k=1或．
但k=1，均使方程（*）没有两相异实根，∴满足条件的k值不存在．