Question

在数列{a_n} 中，a1=1，a_n=2（a_n-1-1）+n（n≥2，n∈N^*）
（1）求a₂，a₃的值；
（2）证明：数列{a_n+n}是等比数列，并求{a_n} 的通项公式；
（3）求数列{a_n} 的前n项和S_n．

Answer

（1）令递推关系中的n分别取2，3求出a2，a3的值．
（2）利用已知的递推关系求出的值是常数，据等比数列的定义得证；利用等比数列的通项公式
求出an+n通过解方程求出an
（3）通过分组，再利用等比数列及等差数列的前n项和公式求出数列{an} 的前n项和Sn．
【解析】
（1）a1=1，an=2an-1+n-2（n≥2，n∈N*）
∴a2=2a1+2-2=2…（2分）
a3=2a2+3-2=5…（4分）
（2）证明：∵
∴数列{an+n}是首项为a1+1=2公比为2的等比数列…（7分）
an+n=2•2n-1=2n，即an=2n-n
∴{an}的通项公式为an=2n-n…（9分）
（3）∵{an}的通项公式为an=2n-n
∴Sn=（2+22+23+…+2n）-（1+2+3+…+n）…（11分）
=…（12分）