Question

已知二次函数g（x）对任意实数x都满足g（x-1）+g（1-x）=x²-2x-1，且g（1）=-1．
（1）求g（x）的表达式；
（2）设1＜m≤e，H（x）=g（x+）+mlnx-（m+1）x+，求证：H（x）在[1，m]上为减函数；
（3）在（2）的条件下，证明：对任意x₁，x₂∈[1，m]，恒有|H（x₁）-H（x₂）|＜1．

Answer

（1）设出二次函数g（x），将已知条件代入g（x）的解析式，列出关于待定系数的方程，解方程求出各个系数，得到g（x）的解析式．
（2）将（1）中g（x）的解析式代入H（x），求出H（x）的导函数，根据自变量的范围，判断出H（x）的导函数的符号，判断出函数的单调性，得证．
（3）利用（2），H（x）的单调性，将要证的不等式化为关于m的不等式恒成立，构造新函数h（x），求出h（x）的导数，判断出导函数的符号，从而得到h（x）的单调性，求出h（x）的最大值，得到要证的不等式．
【解析】
（1）设g（x）=ax2+bx+c
于是g（x-1）+g（1-x）=2a（x-1）2+2c=（x-1）2-2
所以
又g（1）=-1
所以b=
所以 
（2）  
因为对∀x∈[1，m]，

故H（x）在[1，m]上为减函数  
（3）由（2）得：H（x）在[1，m]上为减函数则：
|H（x1）-H（x2）|＜1⇐⇔
记，
则
所以是单调增函数，

所以，故命题成立