Question

数列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，a_n+2=3a_n+1-ka_n（k≠0）对任意n∈N^*成立，令b_n=a_n+1-a_n，且{b_n}是等比数列．
（1）求实数k的值；   
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer

（1）首先根据题干条件a1=1，a2=3，an+2=3an+1-kan求出a3=9-k，a4=27-6k，即可求出b1=2，b2=6-k，b3=18-5k，又知{bn}成等比数列，可得b22=b1•b3，于是可求出k的值．
（2）根据（1）的条件求出数列{bn}的通项公式，然后由bn=an+1-an，即可求出数列{an}的通项公式．
【解析】
（1）∵a1=1，a2=3，a3=9-k，a4=27-6k，
∴b1=2，b2=6-k，b3=18-5k．
∵{bn}成等比数列，∴b22=b1•b3
解得 k=2或k=0（舍）…（4分）
当k=2时，an+2=3an+1-2an
即 an+2-an+1=2（an+1-an），∴
∴k=2时满足条件．…（6分）
（2）bn=2n…（8分）
an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=1+2+22+…+2n=2n+1（14分）