Question

已知抛物线C：x²=2py，过点A（0，4）的直线l交抛物线C于M，N两点，且OM⊥ON．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点N作y轴的平行线与直线y=-4相交于点Q，若△MNQ是等腰三角形，求直线MN的方程．K．

Answer

（1）根据OM⊥ON，可得x1x2+y1y2=0，把至西安的方程代入抛物线方程后把根与系数的关系代入x1x2+y1y2=0 求出p的值，即得抛物线方程．
（2）求出点Q的坐标，分三种情况讨论等腰三角形的底边，求出MN的斜率，用点斜式求得MN的方程．
【解析】
（1）设M（x1，y1），N（x2，y2），∵OM⊥ON，∴x1x2+y1y2=0，
由…（*）得，
所以-8p+16=0，p=2，抛物线方程为x2=4y．
（2）方程（*）为x2-4kx-16=0，则得，且Q（x2，-4）
①若△MNQ是以MQ为底边的等腰三角形，，，
所以M，O，Q三点共线，而MQ⊥ON，所以O为MQ的中点，则x1+x2=0，k=0，则直线MN的方程为y=4．
②若△MNQ是以NQ为底边的等腰三角形，作MG∥x轴交QN于G，G（x2，y1），则G为QN中点，2y1+4=y2，
又，得，则直线MN的方程为．
③若△MNQ是以NM为底边的等腰三角形，则MN的中点P（2k，2k2+4），且，
由QP⊥MN，得 ，，
得，所以直线MN的方程为．
综上，当△QMN为等腰三角形时，直线MN的方程为：y=4，或y=±，或y=±．