Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知．
（I）求cosC的值；
（II）若acosB+bcosA=2，求△ABC面积的最大值．

Answer

（I）所求的式子cosC利用二倍角的余弦函数公式化简后，将已知的cos的值代入即可求出值；
（II）利用余弦定理分别表示出cosB和cosA，代入到已知的等式中，化简后即可求出c的值，然后利用余弦定理表示出c2=a2+b2-2abcosC，把c及cosC的值代入后，利用基本不等式即可求出ab的最大值，然后由cosC的值，及C的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把ab的最大值及sinC的值代入即可求出面积的最大值．
【解析】
（Ⅰ）∵，
∴；（7分）
（Ⅱ）∵acosB+bcosA=2，
∴，
∴c=2（9分）
∴，
∴（当且仅当a=b=时等号成立）（12分）
由cosC=，得sinC=（13分）
∴，
故△ABC的面积最大值为（14分）