Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且（2n-1）S_n+1-（2n+1）S_n=4n²-1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：．

Answer

（Ⅰ）先由（2n-1）Sn+1-（2n+1）Sn=4n2-1，整理得，进而得是公差为1的等差数列；求出Sn的表达式，再利用已知前n项和求通项公式的方法即可求出数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）先利用（Ⅰ）的结论得，再把其放缩到，代入所求即可证明结论．
【解析】
（Ⅰ）由（2n-1）Sn+1-（2n+1）Sn=4n2-1，得，
∴是公差为1的等差数列，
∴，Sn=（2n-1）（S1+n-1）①
又∵{an}等差数列，∴a1+a3=2a2，即a1+（S3-S2）=2（S2-S1）．
由①得a1+[5（a1+2）-3（a1+1）]=2[3（a1+1）-a1]，
解得a1=1，代入①得Sn=2n2-n．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2-n-[2（n-1）2-（n-1）]=4n-3，
上式对n=1也适用，∴an=4n-3．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
=，
∴
=，故原不等式成立．