Question

设函数f（x）对任意x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＜0．
（1）证明：f（x）为奇函数；
（2）证明：f（x）在R上为减函数．

Answer

（1）根据函数奇偶性定义进行判定，该函数是抽象函数，故可利用赋值法进行，令x=y=0求出f（0）=0，令y=-x，即可得到结论；
（2）根据题意先证明单调性，用单调性定义，先设设x1，x2是 （-∞，+∞）上的任意两个实数，且x1＜x2，f（x2-x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2）-f（x1）再由x＞0时，f（x）＜0来判断符号，从而得到函数的单调性．
证明：（1）由已知f（x+y）=f（x）+f（y）
令x=y=0得  f（0）=0
令y=-x，得f（x-x）=f（x）+f（-x）
∴f（x）+f（-x）=0∴f（x）为奇函数．
（2）设x1，x2是 （-∞，+∞）上的任意两个实数，且x1＜x2
∵x2-x1＞0，f（x2-x1）＜0
由（1）知f（x）为奇函数
∴f（x2-x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2）-f（x1）＜0
∴f（x2）＜f（x1）∴f（x）在R上为减函数