Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，PA=PD=DC=CB=，E是BD的中点．
（Ⅰ）求证：EC∥平面APD；
（Ⅱ）求BP与平面ABCD所成角的正切值；
（Ⅲ）求二面角P-AB-D的大小．

Answer

（Ⅰ）取PA中点F，连接EF、FD，可得EF∥AB且，证明四边形EFDC是平行四边形，再利用直线与平面平行的
判定定理进行证明；
（Ⅱ）取AD中点H，连接PH，因为PA=PD，所以PH⊥AD，可得HB是PB在平面ABCD内的射影，∠PBH是PB与平面ABCD所成角，从而求解．
（Ⅲ）在平面ABCD内过点H作AB的垂线交AB于G点，连接PG，则HG是PG在平面ABCD上的射影，故PG⊥AB，可得∠PGH是二面角P-AB-D的平面角，由AB=2a，构造直角三角形，求出∠PGH的正切值，即可求解．
【解析】
证明（Ⅰ）如图，取PA中点F，连接EF、FD，
∵E是BP的中点，
∵EF∥AB且，
又∵
∴EFDC
∴四边形EFDC是平行四边形，故得EC∥FD（2分）
又∵EC⊄平面PAD，FD⊂平面PAD
∴EC∥平面ADE（4分）

（Ⅱ）取AD中点H，连接PH，因为PA=PD，所以PH⊥AD
∵平面PAD⊥平面ABCD于AD
∴PH⊥面ABCD
∴HB是PB在平面ABCD内的射影
∴∠PBH是PB与平面ABCD所成角（6分）
∵四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°
∴四边形ABCD是直角梯形
设AB=2a，则，
在△ABD中，易得∠DBA=45°，
∴，
又∵BD2+AD2=4a2=AB2，
∴△ABD是等腰直角三角形，∠ADB=90°
∴
∴在Rt△PHB中，（10分）
（Ⅲ）在平面ABCD内过点H作AB的垂线交AB于G点，连接PG，
则HG是PG在平面ABCD上的射影，故PG⊥AB，
所以∠PGH是二面角P-AB-D的平面角，由AB=2a（11分）
，又∠HAB=45°∴
在Rt△PHG中，（13分）
∴二面角P-AB-D的大小为（14分）

解法二：（Ⅰ）同解法一（4分）
（Ⅱ）设AB=2a，同解法一中的（Ⅱ）可得∠ADB=90°
如图，以D点为原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，
过D点且垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系．（5分）
则，，则，
平面ABCD的一个法向量为m=（0，0，1），（7分）
所以，
可得PB与平面ABCD所成角的正弦值为
所以PB与平面ABCD所成角的正切值为（10分）
（Ⅲ）易知，则，
设平面PAB的一个法向量为，则，
令x=1，可得（12分）
得，
所以二面角P-AB-D的大小为（14分）