Question

无穷等比数列{a_n}中，公比为q，且所有项的和为，则a₁的范围是    ．

Answer

根据数列为无穷等比数列，且所有项的和为，得到极限存在，即公比q大于等于-1小于等于1，且不为0，当官公比q等于1时，数列为常数列，利用首项a1表示出数列的前n项的和，解出a1，当n趋于无穷大时a1趋于0，得到a1大于0，当q大于等于-1小于1时，利用等比数列的前n项和公式表示出sn，当n趋于无穷大时，qn趋于0，得到sn==，解出a1，根据当q=-1时，a1取得最大值，即可解出a1的取值范围，同时因为公比q不为0，得到a1不等于，综上，写出a1的取值范围即可．
【解析】
因为数列{an}为无穷等比数列，且其所有项的和为，即其极限存在，
故可知|q|≤1且q≠0，即-1≤q≤1且q≠0，
当q=1时，无穷等比数列{an}为常数列，设sn为其所有项之和，则sn=na1=，
即a1=，当n→+∞时，a1→0，即a1＞0；
当-1≤q＜1时，sn=，当n→+∞时，qn→0，于是有sn==，
即a1=（1-q），当q=-1时，a1最大，所以得到0＜a1≤，
又q≠0，得到a1≠，
综上，a1的范围是（0，）∪（，）．
故答案为：（0，）∪（，）