Question

在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且m=（a、b），n=（cosA、cosB），P=（2sin，2sinA），若m∥n，p²=9，试判断三角形的形状．

Answer

根据向量平行时，向量的坐标满足的条件得到一个关系式，利用正弦定理化简此关系式得到sin（A-B）的值等于0，根据A与B为三角形的内角，得到A等于B，又利用模的计算法则表示出的平方，让其等于9，利用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简后，得到cosA的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数，即可得到B的度数，进而得到C的度数，即可判断三角形ABC的形状．
【解析】
∵∥，
∴=即acosB-bcosA=0，由正弦定理得：sinAcosB-cosAsinB=0，
∴sin（A-B）=0，∴A=B，
∵=（2sin，2sinA）且2==9，又=-，
∴+（2sinA）2=9，即8+4sin2A=9，
化简得：cosA=，由A∈（0，π），得到A=，
∴A=B=C=，
∴△ABC为等边三角形．