Question

设数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=，a_n+2=a_n+1-a_n（n∈N^*）．
（1）令b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），求数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）直接把an+2=an+1-an代入bn=an+1-an整理可得数列{bn}是公比为的等比数列，求出首项即可求数列{bn}的通项公式；
（2）先借助于（1）的结论以及叠加法的应用求出数列{an}的通项公式；再利用错位相减法以及分组求和法求出数列{nan}的前n项和Sn．
【解析】
（1）因为bn+1=an+2-an+1=an+1-an-an+1=（an+1-an）=．
故数列{bn}是公比为的等比数列，且b1=a2-a1=．
故bn=   （n=1，2，3…）．
（2）由bn=an+1-an=．
得an+1-a1=（an+1-an）+（an-an-1）+…+（a2-a1）
=+…+=2[1-]．
又因为a1=1．可得an+1=3-，即an=3-  （n=1，2，3…）
记数列{}的前n项和为Tn．则Tn=1+2×+…+n，
Tn=+…+n．
两式相减得：Tn=1+++…+-n•=3[1-]-n•．
故Tn=9[1-]-3n=9-．
所以sn=a1+2a2+…+nan
=3（1+2+3+…+n）-2Tn
=n（n+1）+-18．