Question

已知抛物线y²=4x及点P（2，2），直线l的斜率为1且不过点P，与抛物线交于点A，B，
（1）求直线l在y轴上截距的取值范围；
（2）若AP，BP分别与抛物线交于另一点C、D，证明：AD，BC交于定点．

Answer

（1）设直线l的方程为y=x+b（b≠0），将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合方程有两个实根的条件：△＞0，解决问题．
（2）设A，B坐标分别为，因为AB斜率为1，得出m，n的关系式，再结合B、P、D共线，利用直线斜纺的关系得直线AD的方程，最后令x=0时，即直线AD与y轴的交点为（0，2），同理可得BC与y轴的交点也为（0，2），从而解决问题．
【解析】
（1）设直线l的方程为y=x+b（b≠0），由于直线不过点P，因此b≠0
由得x2+（2b-4）x+b2=0，由△＞0，解得b＜1
所以，直线l在y轴上截距的取值范围是（-∞，0）∪（0，1）
（2）设A，B坐标分别为，因为AB斜率为1，所以m+n=4，
设D点坐标为，因为B、P、D共线，所以kPB=kDP，得
直线AD的方程为
当x=0时，
即直线AD与y轴的交点为（0，2），同理可得BC与y轴的交点也为（0，2），
所以AD，BC交于定点（0，2）．