Question

已知函数．
（I）若a＞1，求函数y=f（x）的单调区间；
（II）若函数h（x）=f（x）+g（x）有三个极值点，求实数a的取值范围．

Answer

（I）先对函数求导，分别令f′（x）＞0，f′（x）＜0解不等式可求得函数的单调区间
（II）h（x）=f（x）+g（x）有三个极值点⇔h′（x）=x3-3x+6a有三个不同的实数根，构造函数∅（x）=x3-3x+6a，通过研究∅′（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1）判断函数∅（x）的单调区间，进一步可求函数的极值，从而可求a的范围
【解析】
（I）对函数求导可得，f′（x）=x3-2ax2-3x+6a=
∵a＞1∴
令f′（x）＞0可得；f′（x）＜0可得
函数的单调增区间，单调减区间
（II）h（x）=f（x）+g（x）=有三个极值点
∴h′（x）=x3-3x+6a有三个不同的实数根
令∅（x）=x3-3x+6a，则∅′（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1）
当x＜-1时，∅′（x）＞0，∅（x）在（-∞，-1）上单调递增
当-1＜x＜1，∅′（x）＜0，∅（x）在（-1，1）上单调递减
当x＞1时，，∅′（x）＞0，∅（x）在（1，+∞）上单调递增
函数在x=-1时取得极大值6a+2，在x=1时取得极小值6a-2
∴  解可得