Question

已知双曲线的两条渐近线互相垂直，且C的焦点到其渐近线的距离为，过点E（1，0）且倾斜角为锐角的直线l交C于A、B两点．
（I）求双曲线C的方程；
（II）若，求直线l斜率的取值范围．

Answer

（I）由焦点（ c，0）到渐近线bx-ay=0 的距离为，求出b，再由两条渐近线互相垂直，求得a=b=，从而得到双曲线C的方程．
（II） 把直线l的方程代入圆的方程，应用判别式大于0及根与系数的关系，结合，得到 =t++2，由t的范围求出的范围，进而得到k的范围．
【解析】
（I）由焦点（ c，0）到渐近线bx-ay=0 的距离为，
得=，b=．
∵两条渐近线互相垂直，∴a=b=，
∴双曲线C的方程为  x2-y2=2．
（II）设直线l   y=k（x-1），A（ x1，y1），B （ x2，y2），
由  得（1-k2）y2+2ky-k2=0，∴△=4k2-4（1-k2）（-k2）＞0，
再由倾斜角为锐角知，0＜k＜且 k≠1．
 y1+y2=，y1•y2=，
∵，∴（ x1-1，y1）=t（x2-1，y2），∴y1=ty2．
∴（1+t）y2=，t y22=，消去y2得  =t++2．
∵1＜t＜3，∴4＜＜，∴＜k2＜2． 又0＜k＜  且 k≠1，
∴＜k＜，
故直线l斜率的取值范围为（，）．