Question

已知函数f（x）=
（1）若函数f（x）是（0，+∞）上的增函数，求k的取值范围；
（2）证明：当k=2时，不等式f（x）＜lnx对任意x＞0恒成立；
（3）证明：ln（1×2）+ln（2×3）+L+ln[n（n+1）]＞2n-3．

Answer

（1）对函数求导数可得，由已知得，f′（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，可得结果．
（2）本题的思路较为清晰，那就是构造函数，令，利用导数转化为函数的最值问题易得结论．
（3）在（2）的基础上来解答本题很容易解决，由（2）得，于是求出通项an=ln[n（n+1）]的关系，然后利用数列求和的裂项相消法可得结论．
【解析】
（1）∵f（x）=，∴
∵f（x）是（0，+∞）上的增函数，∴≥0对x∈（0，+∞）恒成立．
∴k+1≥0，得k≥-1
而k=-1时f′（x）=0，f（x）=-1为常函数，不满足条件，
∴k＞-1
（2）证明：当k=2时，∵
∴不等式f（x）＜lnx对任意x＞0恒成立，等价于对任意x＞0恒成立．
令，则
∴g（x）在（0，3）上递减，在（3，+∞）上递增，
∴g（x）≥g（3）=ln3-1＞0，即对任意x＞0恒成立．
∴不等式f（x）＜lnx对任意x＞0恒成立．
（3）证明：由（2）知，对任意x＞0恒成立，即．
∵n∈N*，
∴ln[n（n+1）]＞=，
∴ln（1×2）+ln（2×3）+…+ln[n（n+1）]＞2n-=2n-3＞2n-3