Question

已知向量=（cosx，sinx），=（cosx，sinx）（0＜x＜π）．设函数f（x）=•，且f（x）+f'（x）为偶函数．
（1）求x的值；
（2）求f（x）的单调增区间．

Answer

（1）首先利用向量求得f（x），然后求出函数f（x）的导数，进而表示出f（x）+f'（x），再根据偶函数的定义求出结果；
（2）由（1）得出f（x）=cos（x-），再由余弦的单调性求出增区间即可．
【解析】
（1）f（x）=•=cosxcosϕ+sinxsinϕ=cos（x-ϕ），
所以f（x）+f'（x）=cos（x-ϕ）-sin（x-ϕ）=2cos（x-ϕ+），
而f（x）+f'（x）为偶函数，则有-ϕ+=kπ，k∈Z，又0＜ϕ＜π，则k=0，即ϕ=．
（2）由（1）得f（x）=cos（x-），由2kπ-π≤x-≤2kπ，
解得（2kπ-）≤x≤（2kπ+），
即此函数的单调增区间为（k∈Z）．