Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=1，侧棱AA₁=，M，N分别为棱AA₁、BC的中点，点P在边A₁B₁上，且A₁P=2PB₁．
（1）求证：MN⊥AP；
（2）求二面角M-AN-P的正切值．

Answer

（1）过点N作NH⊥AB于H，连接MN．由题意可得：NH⊥面ABB1A1，所以MH为MN在面ABB1A1内的射影，且AH=，再结合解三角形的知识即可得到答案．  
（2）根据线面关系作出二面角的平面角，再证明此是二面角的平面角，然后放入三角形中利用解三角形的有关知识夹角问题即可．
【解析】
（1）证明：过点N作NH⊥AB于H，连接MN．
∵ABC-A1B1C1为直三棱柱，且NH⊥AB，
∴NH⊥面ABB1A1，
∴MH为MN在面ABB1A1内的射影，且AH=
在Rt△MAH中，tan∠AMH=，
在Rt△AA1P中，tan∠APA1=，
∴∠AMH=∠APA1，
∵∠A1AP+∠AMH=∠A1AP+∠APA1=90°，
∴MH⊥AP．
由三垂线定理知MN⊥AP．  
（2）取B1C1的中点D，连接DN、DA1
过点P作PF⊥AD于E，过E作EF⊥AN于F，连接PF，
由三垂线定理知：∠PFE为二面角M-AN-P的平面角．
在△A1B1D中，cos∠B1A1D=，
在Rt△PEA1中，PE=A1P•sin∠B1A1D=，
∴tan∠PFE=．
故二面角M-AN-P的正切值为．