Question

已知函数．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）问是否存在实数a，使得不等式f（x）＞a恒成立．若存在，则求实数a的取值范围，否则说明理由．

Answer

（1）求函数f（x）的定义域，由函数的解析知，解不等式组解出不等式的解集，即是所求的定义域；
（2）求函数f（x）的单调区间，由解析式的形式知宜先对函数进行求导，再由导数解出函数f（x）的单调区间；
（3）由（2）中知函数的单调性，利用单调性求出函数的最小值，令参数小于此最小值，即为所求的参数的取值范围．
【解析】
（1）由需满足：，
解得x＞0且x≠1．
故f（x）的定义域为{x|x＞0且x≠1}．
（2）对．．
∴
=
=
=
，
．
则g（t）＞g（1）=0（t＞1）；g（t）＜g（1）=0（0＜t＜1）．
因此：x＞1时，f'（x）＞0；0＜x＜1时，f'（x）＜0．
∴f（x）在（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减．…（10分）
（3）由（2）可知f（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．
∴

=（lnx）|x=1+0-2ln2=1-2ln2，
从而f（x）＞1-2ln2恒成立．
故a≤1-2ln2．…（14分）