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过抛物线y2=2x的焦点作一条直线与抛物线交于两点,它们的横坐标之和等于2,则这...

过抛物线y2=2x的焦点作一条直线与抛物线交于两点,它们的横坐标之和等于2,则这样的直线( )
A.有且只有一条
B.有且只有两条
C.有且只有三条
D.有且只有四条
过抛物线y2=2x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,先看直线AB斜率不存在时,横坐标之和等于1,不适合;若直线斜率存在时,利用横坐标之和等于2,进而设直线AB为y=k(x-1)与抛物线方程联立消去y,进而根据伟大定理表示出A、B两点的横坐标之和,进而求得k.得出结论. 【解析】 过抛物线y2=2x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点, 若直线AB的斜率不存在,则横坐标之和等于1,不适合. 若直线斜率存在时,设直线AB的斜率为k,则直线AB为y=k(x-) 代入抛物线y2=2x得,k2x2-(k2+2)x+k2=0 ∵A、B两点的横坐标之和等于2, ∴,k2=2,k=± 则这样的直线有且仅有两条, 故选B.
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考点分析:
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A.-24
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C.40.5
D.40
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