Question

已知椭圆经过点P（2，1），离心率，直线l与椭圆C交于A，B两点  （A，B均异于点P），且有．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证：直线l过定点．

Answer

（1）由题意得椭圆经过点P（2，1）所以可得a与b的一个关系式，结合，a2=b2+c2，可解出a，b，c．
（2）证明：设出A，B两个点的坐标，再分斜率存在与不存在两种情况设出直线l方程．
当斜率存在时：y=kx+m，直线l与椭圆C的方程联立，消去y得，（1+4k2）x2+8kmx+4m2-8=0．结合根与系数的关系表示出=
所以（6k+5m+3）（2k+m-1）=0．可解出答案．当斜率k不存在，易知，符合题意．
【解析】
（1）由题意得椭圆经过点P（2，1）
所以，
又因为，a2=b2+c2，
∴a2=8，b2=2，c2=6．故方程为．
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），
当直线l的斜率存在时设直线l的方程为：y=kx+m
直线l与椭圆C的方程联立，消去y得，（1+4k2）x2+8kmx+4m2-8=0．
则．
=（x1-2）（x2-2）+（y1-1）（y2-1）=（x1-2）（x2-2）+（kx1+m-1）（kx2+m-1）
=（1+k2）x1x2+
=
∴（6k+5m+3）（2k+m-1）=0．
若6k+5m+3=0，则l：，∴直线l过定点．
若2k+m-1=0，则l：y=kx-2k+1=k（x-2）+1，∴直线l过定点（2，1），即为P点（舍去）．
当斜率k不存在，易知，符合题意．
综上，直线l过定点