Question

一次数学考试共有10道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的．设计试卷时，安排前n道题使考生都能得出正确答案，安排8-n道题，每题得出正确答案的概率为，安排最后两道题，每题得出正确答案的概率为，且每题答对与否相互独立，同时规定：每题选对得5分，不选或选错得0分．
（1）当n=6时，
①分别求考生10道题全答对的概率和答对8道题的概率；
②问：考生答对几道题的概率最大，并求出最大值；
（2）要使考生所得分数的期望不小于40分，求n的最小值．

Answer

（1）由题意当n=6时，①分别求考生10道题全答对，即后四道题全答对的相互独立事件同时发生，利用独立事件同时发生的概率公式即可求解．同理可求得答对8道题的概率，对于②答对题的个数X的可能值为6，7，8，9，10，利用随机变量的定义即可求出每一个值下对应的概率，
（2）当n=6时，求出其分布列，并利用其分布列求出期望，并求出该考生所得分数的期望不小于40分的值并比较即可．
【解析】
（1）①当n=6时，10道题全答对，即后四道题全答对的相互独立事件同时发生，
10道题题全答对的概率为，
答对8道题的概率为++4•==，
②答对题的个数X的可能值为6，7，8，9，10，其概率分别为：
P（X=6）==；P（X=7）=2•+2•==；
P（X=8）==；又P（X=9）=1-=；
所以：答对7道题的概率最大为，
（2）当n=6时，分布列为：

分值x 30 35 40 45 50
P

得Ex=30×+35×+40×+45×+50×==37.5，
同理可算得，当n=7时，Ex=40．所以n的最小值为7．