Question

已知两定点，平面上动点P满足|PF₁|-|PF₂|=2．
（Ⅰ）求动点P的轨迹c的方程；
（Ⅱ）过点M（0，1）的直线l与c交于A、B两点，且，当时，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由，知P的轨迹c是以F1，F2为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，由此能求出轨迹c的方程．
（Ⅱ）设l的方程为y=kx+1，A（x1，kx1+1），B（x2，kx2+1），则，由得：x1=λx2；联立，消去y，整理得：（1-k2）x2-2kx-2=0，由此得，从而得到k的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）∵
∴P的轨迹c是以F1，F2为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，
∴轨迹c方程为x2-y2=1（x≥1）．                                 （3分）
（Ⅱ）由题意可知l的斜率k存在，且k≠0，±1，
设l的方程为y=kx+1，A（x1，kx1+1），B（x2，kx2+1），
则，由得：x1=λx2；         （5分）
联立，消去y，整理得：（1-k2）x2-2kx-2=0（*）
由x1，x2是方程（*）在区间（0，+∞）内的两个不等实根得，
化简得，即；           （8分）
又，
（2）2÷（3）整理可得：，（10分）
∵，由对勾函数的性质可知，在区间上k2=f（λ）为增函数，
∴，
综上得．            （13分）