Question

如图是一个三角形数阵．从第二行起每一个数都等于它肩上两个数的和，第k行的第一个数为a_k（1≤k≤n，n≥2，k、n∈N^*）．
（Ⅰ）写出a_k与a_k-1的递推关系，并求a_n；
（Ⅱ）求第k行所有数的和T_k；
（Ⅲ）求数阵中所有数的和S_n=T₁+T₂+…+T_n；并证明：当n≥2时，S_n≥2a_n．

Answer

（Ⅰ） 通过前几项归纳可得：ak=2ak-1+2k-2（k≥2，且k∈N*），从而数列是以为首项，以为公差的等差数列，可求出an；
（Ⅱ） 由数阵的排布规律可知，每行的数（倒数两行另行考虑）都成等差数列，且公差依次为：1，2，22，…，2k-1，…第k行的首项为ak，项数为n+1-k，公差为2k-1
可求出Tn；   
（Ⅲ）先求出Sn和an，然后利用作差法判定Sn-2an的符号，从而得到结论．
【解析】
（Ⅰ） 由题意得a1=1，a2=3=2a1+1，a3=8=2a2+2，a4=20=2a3+22，a5=48=2a4+23，
由以上归纳可得：ak=2ak-1+2k-2（k≥2，且k∈N*），（2分）
∴，
∴数列是以为首项，以为公差的等差数列，
∴，∴an=（n+1）•2n-2（n∈N*）．                （4分）
（Ⅱ） 由数阵的排布规律可知，每行的数（倒数两行另行考虑）都成等差数列，
且公差依次为：1，2，22，…，2k-1，…
第k行的首项为ak，项数为n+1-k，公差为2k-1
∴
=
=（n+1-k）•2k-2[（k+1）+（n-k）]=（n+1-k）（n+1）•2k-2（7分）
当k=n时，Tn=an=（n+1）•2n-2符合上式；
当k=n-1时，由排布规律知，Tn-1=Tn=an=（n+1）•2n-2也符合上式；
∴Tk=（n+1-k）（n+1）•2k-2（1≤k≤n；k，n∈N*）．                    （8分）
（Ⅲ）=
令（1）
2Rn=1•2+2•22+3•23+…+（n-1）•2n-1+n•2n（2）
（1）-（2）得-Rn=1+2+22+…+2n-1-n•2n=2n-1-n•2n
∴Rn=（n-1）2n+1
∴（n≥2，n∈N*）（12分）
又an=（n+1）•2n-2
∴当n≥2时，=
又2n=（1+1）n=Cn+Cn1+…+Cnn≥1+n+1=n+2（n≥2）
∴2n-n-2≥0（当且仅当n=2时取等号）．
∴当n≥2时，Sn≥2an．                                               （14分）