Question

中心在原点O的椭圆的左焦点为F（-1，0），上顶点为（0，），P₁、P₂、P₃是椭圆上任意三个不同点，且∠P₁FP₂=∠P₂FP₃=∠P₃FP₁，则++=（ ）
A．2
B．3
C．1
D．-1

Answer

设椭圆方程为 ，由题意知c=1，，a=2故所求椭圆方程为 ．
记椭圆的右顶点为A，并设∠AFPi=αi（i=1，2，3），假设 ，且 ，
又设点Pi在l上的射影为Qi，因椭圆的离心率 ，从而有|FPi|=|PiQi|•e==（i=1，2，3）．由此入手能够推导出++，根据对称性可知 ++为定值，并能求出此定值．
【解析】
设椭圆方程为 ，由题意知c=1，，a=2故所求椭圆方程为 ．
记椭圆的右顶点为A，并设∠AFPi=αi（i=1，2，3），不失一般性，
假设 ，且 ，
又设点Pi在l上的射影为Qi，因椭圆的离心率 ，从而有|F1Pi|=|PiQi|•e==（i=1，2，3），解得 =（i=1，2，3）
因此 ++=，
而 =，
故++=2，根据对称性可知 ++．
故选A．