Question

已知函数f（x）=．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域：
（Ⅱ）设F（x）=f′（x）+对∀x∈[2，+∞）均有F（x）≤2成立，求实数a的取值范围．

Answer

（I）令对数的真数大于0，分式的分母不为0，列出不等式组，求出x的范围，写出集合或区间即得到函数的定义域．
（II）求出f（x）的导数代入F（x）中得到恒成立的不等式，分离参数a，构造新函数g（x），求出g（x）的导数，为判断g（x）导数的符号，再构造函数m（x），求出m（x）的导数，判断出其符号，求出m（x）d的最小值，判断出g（x）导数的符号判断出g（x）的单调性，求出g（x）的最小值，求出a的范围．
【解析】
（I）由得函数的定义域为（0，1）∪（1，+∞）
（II）由已知F（x）=f′（x）+=在[2，+∞）上恒成立等价于
=在[2，+∞）上恒成立
令g（x）=（x≥2）
则
令m（x）=
则
∵x≥2
∴m′（x）＞0
∴m（x）在[2，+∞）上为增函数，且m（2）=
∴x≥2时，恒有m（x）＞0，也恒有g′（x）＞0
∴g（x）在[2，+∞）上为增函数，最小值为g（2）=1+ln2
∴a≤1+ln2
即实数a的取值范围（-∞，1+ln2）