Question

已知数列{a_n}满足．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer

（I）由，知=（n-1）2+n-1=n2-n（n≥2，n∈N+），由此能够得到数列{an}的通项公式．
（II）设bn=n•2n+1，其前n项和为Tn，则Tn=1×22+2×23+…+n×2n+1，由错位相减法能够得到Tn，从而能够得到数列{an}的前n项和Sn．
【解析】
（I）∵①
∴=（n-1）2+n-1=n2-n（n≥2，n∈N+），②
由①-②得：，∴an=n•2n+1+1，n≥2，n∈N+，③
在①中，令n=1，得a1=5，适合③式，∴an=n•2n+1+1，n∈N+．
（II）设bn=n•2n+1，其前n项和为Tn，则：
Tn=1×22+2×23+…+n×2n+1，①
2Tn=1×23+2×24+…+n×2n+2，②
②-①，得Tn=-22-23-…-2n+1+n•2n+2
=（n-1）•2n+2+4．
∴Sn=Tn+n=（n-1）•2n+2+n+4．