Question

如图，是某三棱柱被截去一部分后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，CF=2AD，M是DF的中点．侧视图是边长为2的等边三角形；俯视图是直角梯形，．有关数据如图所示．

（1）求该几何体的体积；
（2）求证：EM⊥平面ACDF．

Answer

（Ⅰ）取CF中点P，过P作PQ∥CB交BE于Q，连接PD，QD，该几何体的体积V=V三棱柱PDQ-ABC+VD-EFPQ然后求解即可．
（Ⅱ）取BC中点O，EF中点R，连接OA，OR，以O为原点，OB，OR，OA所在直线分别为x，y，z轴．建立空间直角坐标系，求平面ABED的法向量 ，平面DEF的法向量为 ，利用 求二面角B-DE-F的余弦值．

【解析】
（Ⅰ）取CF中点P，过P作PQ∥CB交BE于Q，
连接PD，QD，AD∥CP，且AD=CP．四边形ACPD为平行四边形，
∴AC∥PD，∴平面PDQ∥面ABC．
∴；（5分）
（Ⅱ）取BC中点O，EF中点R，连接OA，OR．
则OA⊥BC，∴OA⊥平面BCFE，OA⊥OR．
又∵OR⊥BC，以O为原点，OB，OR，OA所在直线分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），D（0，2，），E（1，3，0），F（-1，4，0）
设平面DEF的法向量为
∵∵
∴
令
设平面ABED的法向量
∵
，∴
令 ，∴
∴∴=，
显然二面角B-DE-F的平面角为钝角，
所以二面角B-DE-F的余弦值为 ．（12分）