Question

已知离心率为的椭圆C：过点，O为坐标原点
（1）求椭圆方程
（2）已知直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，若直线l是圆O：的一条切线，求证：．

Answer

（1）由离心率可得a2=2b2，故椭圆的方程为 ，把点M的坐标代入可得b2的值，从而得到椭圆方程．
（2）当直线l的斜率不存在时，经检验可得三角形AOB为等腰直角三角形，．当斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+b，由切线的性质可得3b2=8+8k2 ①，把直线l的方程代入椭圆的方程化简利用根与系数的关系，计算OA和OB的斜率之积等于-1，从而得到．
【解析】
（1）由题意可得 =，∴a2=2b2，故椭圆的方程为 ，把点M的坐标代入可得b2=4，a2=8，故椭圆方程为 ．
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为 x=，代入椭圆的方程可得A（，- ），
B（， ），显然AOB为等腰直角三角形，．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 y=kx+b，由切线的性质可得 =，3b2=8+8k2 ①，
把直线l的方程代入椭圆的方程化简可得 （1+2k2）x2+4kbx+2b2-8=0．
∴x1+x2=，x1x2=，故OA 和OB的斜率之积等于
==，又由①得  8k2=3b2-8，
故OA 和OB的斜率之积等于 =-1，∴OA⊥OB，∴．