Question

已知点A（1，0），B（0，1）和互不相同的点P₁，P₂，P₃，…，P_n，…，满足，O为坐标原点，其中a_n、b_n分别为等差数列和等比数列，若P₁是线段AB的中点，设等差数列公差为d，等比数列公比为q，当d与q满足条件    时，点P₁，P₂，P₃，…，P_n，…共线．

Answer

设数列an的公差为d，bn的公比为q，因为P1，P2，P3，，Pn，是互不相同的点，可得d=0，q=1不会同时成立．当d=0时，点P1，P2，P3，，Pn，均在直线 上．当q=1时，点P1，P2，P3，，Pn，均在直线 上．关键是当d≠0，q≠1时，点P1，P2，P3，，Pn，不会在同一条直线上，只要验证P1，P2，P3，不共线即可，
【解析】
设数列an的公差为d，bn的公比为q，因为P1，P2，P3，，Pn，是互不相同的点，
所以，d=0，q=1不会同时成立．
当d=0时，（n∈N*），
此时，点P1，P2，P3，，Pn，均在直线 上．
当q=1时，，此时，点P1，P2，P3，，Pn，均在直线 上．
当d≠0，q≠1时，点P1，P2，P3，，Pn，不会在同一条直线上，
因为 ，，，
所以，，，
因为q≠1，
所以，，
点P1，P2，P3不会同一条直线上，即点P1，P2，P3，，Pn，不会在同一条直线上．
故答案为：或另一种描述：d=0或q=1且d=0与q=1不同时成立．