Question

已知是x，y轴正方向的单位向量，设，，且满足
（1）求点P（x，y）的轨迹E的方程．
（2）若直线l过点F₂（2，0）且法向量为=（t，1），直线与轨迹E交于P、Q两点．点M（-1，0），无论直线l绕点F₂怎样转动，是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．并求实数t的取值范围．

Answer

（1）条件“”可以看成是动点到两定点的距离之差为2，联想双曲线的定义解决“点P（x，y）的轨迹C”问题，即点P（x，y）的轨迹是以（-2，0），（2，0）为焦点，2a=2的双曲线，从而解决问题；
（2）设直线l的方程为y=-t（x-2），将直线的方程代入双曲线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得值，从而解决问题．
【解析】
（1）由条件“”知：动点到两定点的距离之差为2，是双曲线，
故方程为，（（4分）+（1分）定义域）
（2）设直线l的方程为t（x-2）+y=0或y=-t（x-2）（1分）
由得（t2-3）x2-4t2x+4t2+3=0（1分）
设P（x1，y1），Q（x2，y2）
由条件得（只计算△=36+36t2＞01分）
解得t2＞3即（（1分）
=（x1+1）（x2+1）+y1y2（1分）
=x1x2+x1+x2+1+t2（x1-2）（x2-2）（1分）
=（t2+1）x1x2-（2t2-1）（x1+x2）+1+4t2（1分）
==0（2分）．