Question

数列{a_n}的前n项和记为S_n，前kn项和记为S_kn（n，k∈N^*），对给定的常数k，若是与n无关的非零常数t=f（k），则称该数列{a_n}是“k类和科比数列”．
（1）已知，求数列{a_n}的通项公式；
（2）在（1）的条件下，数列，求证数列c_n是一个“1 类和科比数列”（4分）；
（3）设等差数列{b_n}是一个“k类和科比数列”，其中首项b₁，公差D，探究b₁与D的数量关系，并写出相应的常数t=f（k）．

Answer

（1）利用an=Sn-Sn-1可以推导出数列an为等比数列，然后将a1=2，q=4代入等比数列的通项公式即可求出数列{an}的通项公式；
（2）根据（1）中求出的an的通项公式便可求出cn的通项公式为cn=2n-1，然后求出为定值，便可证明数列cn是一个“1 类和科比数列”；
（3）根据题中“k类和科比数列”的定义，将=t便可求出D与b1的关系，继而可以求出常数t的表达式．
【解析】
（1）联立：，
∴，
∴，
所以{an}是等比数列，
由 ，得 a1=2，
故 an=2•4n-1 =22n-1 ．
（2）cn=2n-1前n项的和Sn=n2（1分）
S2n=4n2 ，，
所以数列{an}是一个“1类和科比数列”．
（3）对任意一个等差数列数列bn，首项b1，公差D，
．
，
，对一切n∈N*恒成立，
2（k+1）b1+（k+1）（（k+1）n-1）=2ktb1+k（kn-1）Dt对一切n∈N*恒成立，
（k+1-kt）（2b1-D）=n•D（k2t-（k+1）2）对一切n∈N*恒成立，
所以，
D=2b1 ，
所以．