Question

在三人兵乓球对抗赛中，甲、乙、丙三名选手进行单循环赛（即每两人比赛一场），共赛三场，每场比赛胜者得1分，输者得0分，没有平局；在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为．
（1）求甲获得小组第一且丙获得小组第二的概率；
（2）求三人得分相同的概率；
（3）求甲不是小组第一的概率．

Answer

（1）甲获得小组第一且丙获得小组第二，即甲胜乙，甲胜丙，丙胜乙，由已知中在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，我们利用相互独立事件的概率乘法公式，即可得到答案．
（2）三人得分相同，即每人胜一场输两场，有以下两种情形：①甲胜乙，乙胜丙，丙胜甲；②甲胜丙，丙胜乙，乙胜甲，代入相互独立事件的概率乘法公式，结合互斥事件概率加法公式，即可得到答案．
（3）甲不是小组第一与甲是小组第一为对立事件，根据（1）中的结论，我们利用对立事件概率减法公式，即可得到答案．
【解析】
（1）甲获小组第一且丙获小组第二为事件A
则事件A成立时，甲胜乙，甲胜丙，丙胜乙
由在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为
则P（A）==
（2）设三场比赛结束后，三人得分相同为事件B
则每人胜一场输两场，有以下两种情形：
甲胜乙，乙胜丙，丙胜甲概率P==；
甲胜丙，丙胜乙，乙胜甲概率P==
故三人得分相同的概率为P（B）=+=
（3）设甲不是小组第一的事件C，甲是小组第一的事件D
则C，D为对立事件，
∵D成立事，甲胜乙，甲胜丙
故P（D）==；
P（C）=1-P（D）=1-=