Question

已知函数，m，a，b∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的导函数f′（x）；
（Ⅱ）当m=1时，若函数f（x）是R上的增函数，求z=a+b的最小值；
（Ⅲ）当a=1，时，函数f（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间，求m的取值范围．

Answer

（1）直接运用导数公式进行求导；
（2）根据函数f（x）是R上的增函数，转化成f'（x）≥0在R上恒成立．建立a，b的约束条件，利用参数方程求a+b的最小值；
（3）讨论m的范围，当m≥0时显然成立，当m＜0时，要使f'（x）在（2，+∞）上存在子区间使f'（x）＞0，应满足m＜0，
再结合图象建立不等关系即可．
【解析】

（Ⅰ）f'（x）=mx2+2ax+（1-b2）．（3分）
（Ⅱ）因为函数f（x）是R上的增函数，所以f'（x）≥0在R上恒成立．
则有△=4a2-4（1-b2）≤0，即a2+b2≤1．
设（θ为参数，0≤r≤1），
则z=a+b=r（cosθ+sinθ）=，．
当，且r=1时，z=a+b取得最小值．
（Ⅲ）=1 ①当m＞0时，f'（x）=mx2+2x-1是开口向上的抛物线，
显然f'（x）在（2，+∞）上存在子区间使得f'（x）＞0，所以m的取值范围是（0，+∞）．
②当m=0时，显然成立．
③当m＜0时，f'（x）=mx2+2x-1是开口向下的抛物线，
要使f'（x）在（2，+∞）上存在子区间使f'（x）＞0，应满足m＜0，

或

解得，或，所以m的取值范围是．
则m的取值范围是．（13分）