Question

位于函数的图象上的一系列点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…这一系列点的横坐标构成以为首项，-1为公差的等差数列x_n．
（1）求点P_n的坐标；
（2）设抛物线C₁，C₂，C₃，…C_n，…中的第一条的对称轴都垂直于x轴，对于n∈N*第n条抛物线C_n的顶点为P_n，抛物线C_n过点D_n（0，n²+1），且在该点处的切线的斜率为k_n，求证．

Answer

（1）位于函数的图象上的一系列点P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），…这一系列点的横坐标构成以为首项，-1为公差的等差数列xn
（2）欲证，关键是求得．先设出Cn的方程，把D点代入求得a，进而对函数进行求得求得切线的斜率，即kn的表达式，进而用裂项法求得 ．
【解析】
（1）由于Pn的横坐标构成以 为首项，-1为公差的等差数列{xn}，
故 ．
又Pn（xn，yn）位于函数 的图象上，
所以y ．
所求点Pn（xn，yn）的坐标为（ ．
（2）∵Cn的对称轴垂直于x轴，且顶点为Pn，
∴设Cn的方程为 ．
把Dn（0，n2+1）代入上式，得a=1，
∴Cn的方程为y=x2+（2n+3）x+n2+1．
∵kn=y'|x=0=2n+3，
∴，
∴=
=．
故得：．