Question

已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE∥AB，AB=1，AC=AD=CD=DE=2，F为CE的中点．
（I）求证：AF⊥CD；
（II）求平面ACD与平面BCE夹角的大小；
（III）求多面体ABCDE的体积．

Answer

（I）取CD的中点O，连接AO、OF，则OF∥DE，结合AC=AD=CD=DE=2，DE∥AB，我们易得到DE⊥平面ACD，进而得到CD⊥平面AOF，由线面垂直的性质，我们可以得到AF⊥CD；
（II）以O为坐标原点，分别以OF、OD、OA为x轴、y轴、z轴建立空间坐标系，求出各个顶点的坐标，进而求出平面ACD的法向量与平面BCE的法向量，代入向量夹角公式，即可得到平面ACD与平面BCE夹角的大小；
（III）作CG⊥AD于G，可知CG是C-ABED的高，求出棱锥的底面面积和高，代入棱锥的体积公式，即可得到答案．
证明：（I）取CD的中点O，连接AO、OF，则OF∥DE
∵AC=AD，
∴AO⊥CD
∵DE∥AB
∴DE⊥平面ACD
∴DE⊥CD，OF⊥CD，又AO∩OF=O
∴CD⊥平面AOF
∵AF⊂平面AOF
∴AF⊥CD．（4分）
【解析】
（ II）以O为坐标原点，分别以OF、OD、OA为x轴、y轴、z轴建立空间坐标系，如图
所以，，
设是平面BCE的一个法向量，
由得取，（6分）
易知是平面ACD的一个法向量，
，
于是平面ACD与平面BCE的夹角等于．（8分）
（III）作CG⊥AD于G，可知CG是C-ABED的高h，易求，（10分）
（12分）