Question

已知函数f（x）=ax²+bx的图象过点（-n，0），且在（0，f（0））处的切线的斜率为n，（n为正整数）
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若数列{a_n}满足：，，令，求数列{b_n}的通项公式；
（III）对于（Ⅱ）中的数列{a_n}，令，求数列{c_n}的前n项的和S_n．

Answer

（Ⅰ）将点（-n，0）的坐标代入函数f（x）=ax2+bx中，然后令f′（0）=n，便可求出函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）由前面求得的函数f（x）的解析式求出an与an+1的关系，然后便可求出bn与bn+1的关系，即可求得bn的通项公式；
（III）由（Ⅱ）求得的an的表达式先求出cb的通项公式，然后即可求得数列{cn}的前n项的和Sn．
【解析】
（I）由已知f（-n）=a（-n）2+b（-n）=0，
f′（0）=b=n
解得a=1，b=n，
所以f（x）=x2+nx（3分）；
（Ⅱ）由可得，（4分）
，
即bn+1=2bn
所以数列{bn}是首项为，公比q=2的等比数列，（6分）
∴bn=4•2n-1=2n+1（8分）；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知Cn=n•2n+1-n（9分）
∵Sn=1•22+2•23+…+n•2n+1-（1+2+3+…+n）
2Sn=1•23+2•24+…+（n-1）•2n+1+n•2n+2-2（1+2+3+…+n）（10分）
∴-Sn=（22+23+…+2n+1）-n•2n+2+（1+2+3+…+n）
=-n•2n+2+，
∴Sn=（n-1）•2n+2+4-（12分）