Question

已知对任意的实数m，直线x+y+m=0都不与曲线f（x）=x³-3ax（a∈R）相切．
（I）求实数a的取值范围；
（II）当x∈[-1，1]时，函数y=f（x）的图象上是否存在一点P，使得点P到x轴的距离不小于．试证明你的结论．

Answer

（I）由直线x+y+m=0得直线斜率为-1，直线x+y+m=0不与曲线f（x）相切知曲线f（x）上任一点斜率都不为-1，即f′（x）≠-1，求导函数，并求出其范围[-3a，+∞），得不等式-3a＞-1，得实数a的取值范围；
（II）转化问题，等价于当x∈[-1，1]时，|f（x）|max≥，设g（x）=|f（x）|，观察出g（x）在[-1，1]上是偶函数，只需求g（x）在[0，1]上的最大值，求函数单调性时，因为含有参数，所以要对参数进行讨论，分为两类求解，在每一类都可证明g（x）max≥，问题得证．
【解析】
（I）f′（x）=3x2-3a∈[-3a，+∞），
∵对任意的实数m，直线x+y+m=0都不与曲线f（x）=x3-3ax（a∈R）相切，
∴-1∉[-3a，+∞），∴-3a＞-1，∴实数a的取值范围为a＜；
（II）存在，证明：问题等价于当x∈[-1，1]时，|f（x）|max≥，
设g（x）=|f（x）|，则g（x）在[-1，1]上是偶函数，
故只要证明当x∈[0，1]时，，
①当a≤0时，f′（x）=3x2-3a≥0，f（x）在[0，1]上单调递增，且f（0）=0，g（x）=f（x），
g（x）max=f（1）=1-3a＞1＞；
②当0＜a＜时，f′（x）=3x2-3a=3（x+）（x-），
令f′（x）＜0，得0＜x＜，令f′（x）＞0得＜x＜1，
∴f（x）在[0，]上单调递减，在[，1]上单调递增，
注意到，且＜＜1，
∴x∈（0，）时，g（x）=-f（x），x∈（，1]时，g（x）=f（x），
∴g（x）max=max{f（1），-f（）}，
由及，解得，此时成立．
∴．
由及，解得，此时成立．
∴．
∴在x∈[-1，1]上至少存在一个x，使得|f（x）|≥成立，
即当x∈[-1，1]时，函数y=f（x）的图象上至少存在一点P，使得点P到x轴的距离不小于．