Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且（n∈N^*）．数列{b_n}是等差数列，且b₂=a₂，b₂₀=a₄．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和T_n；若不等式T_n＞log_ax（a＞0且a≠1）对一切n∈N^*恒成立，求实数x的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由，知，两式相减得，由此能够导出数列{an-1}是公比是3，首项为-3的等比数列．从而能够得到数列{an}的通项公式．
（Ⅱ）由{bn}是等差数列，求得bn=-4n．=，再由错位相减法能够得到数列的前n项和Tn．
由，知{Tn}递增，且Tn的最小值为．由不等式Tn＞logax（a＞0且a≠1）对一切n∈N*恒成立，知．由此能求出实数x的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）由，①当n≥2时，，②
两式相减得，即an=3an-1-2．当n≥2时，为定值，
由，令n=1，得a1=-2．所以数列{an-1}是等比数列，公比是3，首项为-3．
所以数列{an}的通项公式为an=1-3n．（4分）
（Ⅱ）∴b2=-8，b20=-80．由{bn}是等差数列，求得bn=-4n．
=，
而，相减得，
即，则． （8分）
∵，
故{Tn}递增∴当n∈N*时，Tn的最小值为（10分）
∵不等式Tn＞logax（a＞0且a≠1）对一切n∈N*恒成立∴．
故当a＞1时，0＜x；（11分）当0＜a＜1时，．（12分）