Question

已知函数f（x）=e^x-x（e为自然对数的底数）
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）设不等式f（x）＞ax的解集为P，且{x|0≤x≤2}⊆P，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设n∈N^*，证明：．

Answer

（Ⅰ）求导，令f'（x）＞0，f′（x）＜0，得f（x）的单调区间，进而得当x=0时，f（x）取得最小值1．
（Ⅱ）把f（x）解析式代入不等式，先验证x=0时，不等式显然成立，只需考虑x∈（0，2]的情况，分离参数a，写在左边，设右边的为函数g（x），求导，得出g（x）的单调性，进而得当x=1时，g（x）取得最小值e-1，得实数a的取值范围；
（Ⅲ）由等比数列{e-（n-1）}的前n项和公式求出前n项和，小于，只需求题干中不等式的左边小于等比数列{e-（n-1）}的前n项和，转化为项与项的大小关系，两边开n次方根得（*），因（Ⅰ）中f（x）的最小值1，所以ex-x≥1，即1+x≤ex，（*）式取正整数时符合1+x＜ex，故得证．
【解析】
（Ⅰ）【解析】
f（x）的导数f′（x）=ex-1．令f'（x）＞0，解得x＞0；令f′（x）＜0，解得x＜0．
从而f（x）在（-∞，0）内单调递减，在（0，+∞）内单调递增．
所以，当x=0时，f（x）取得最小值1（3分）
（Ⅱ）【解析】
因为不等式f（x）＞ax的解集为P，且{x|0≤x≤2}⊆P，所以对于任意x∈[0，2]，
不等式f（x）＞ax恒成立（4分）由f（x）＞ax，得（a+1）x＜ex．
当x=0时，上述不等式显然成立，故只需考虑x∈（0，2]的情况（5分）
将（a+1）x＜ex变形为，令，则g（x）的导数，
令g′（x）＞0，解得x＞1；令g′（x）＜0，解得x＜1．从而g（x）在（0，1）内单调递减，在（1，2）内单调增．
所以，当x=1时，g（x）取得最小值e-1，
从而实数a的取值范围是（-∞，e-1）（8分）
（Ⅲ）证明：因e-（n-1）+e-（n-2）+…+e-1+1=＜
只需证明：++…++＜e-（n-1）+e-（n-2）+…+e-1+1．（10分）
即（i=1，2，…，n-1）．即（i=1，2，…，n-1），（*）
由（Ⅰ）得，对于任意x∈R，都有ex-x≥1，即1+x≤ex．
当时（*）式成立．故原不等式成立（12分）