Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=2且S_n=S_n-1+2n（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求S_n；
（Ⅱ）是否存在等比数列{b_n}满足b₁=a₁，b₂=a₃，b₃=a₉？若存在，则求出数列{b_n}的通项公式；若不存在，则说明理由．

Answer

（I）因为Sn=Sn-1+2n，所以Sn-Sn-1=2n对n≥2，n∈N*成立．由此能求出{an}是等差数列，从而能够得到，n∈N*．
（II）存在．由an=2n，n∈N*对成立，知a3=6，a9=18，又a1=2，故由b1=a1，b2=a3，b3=a9，得存在以b1=2为首项，公比为3的等比数列{bn}，其通项公式为bn=2•3n-1．
【解析】
（I）因为Sn=Sn-1+2n，
所以有Sn-Sn-1=2n对n≥2，n∈N*成立（2分）
即an=2n对n≥2成立，又a1=S1=2•1，
所以an=2n对n∈N*成立（3分）
所以an+1-an=2对n∈N*成立，所以{an}是等差数列，（4分）
所以有，n∈N*（6分）
（II）存在．（7分）
由（I），an=2n，n∈N*对成立
所以有a3=6，a9=18，又a1=2，（9分）
所以由b1=a1，b2=a3，b3=a9，则（11分）
所以存在以b1=2为首项，公比为3的等比数列{bn}，
其通项公式为bn=2•3n-1．（13分）