Question

如图，梯形ABCD和正△PAB所在平面互相垂直，其中AB∥DC，，且O为AB中点．
（ I ） 求证：BC∥平面POD；
（ II ） 求证：AC⊥PD．

Answer

（I）由O为AB中点，AB∥DC，，我们易得到BC∥OD，进而根据线面平行的判定定理，即可得到答案．
（II）连接OC，由CD=BO=AO，CD∥AO，我们易判断出ADCO为菱形，则两条对角线AC⊥DO，又由梯形ABCD和正△PAB所在平面互相垂直，O为AB中点由面面垂直、及线面垂直的性质，易得PO⊥AC，进而由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面POD，再由线面垂直的定义，即可得到结论．
证明：（I）因为O为AB中点，
所以，（1分）
又AB∥CD，，
所以有CD=BO，CD∥BO，（2分）
所以ODCB为平行四边形，
所以BC∥OD，（3分）
又DO⊂平面POD，BC⊄平面POD，
所以BC∥平面POD．（5分）
（II）连接OC．
因为CD=BO=AO，CD∥AO，
所以ADCO为平行四边形，（6分）
又AD=CD，所以ADCO为菱形，
所以AC⊥DO，（7分）
因为正三角形PAB，O为AB中点，
所以PO⊥AB，（8分）
又因为平面ABCD⊥平面PAB，平面ABCD∩平面PAB=AB，
所以PO⊥平面ABCD，（10分）
而AC⊂平面ABCD，所以PO⊥AC，
又PO∩DO=O，所以AC⊥平面POD．（12分）
又PD⊂平面POD，所以AC⊥PD．（13分）