Question

已知函数
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值和单调区间；
（II）若在区间[1，e]上至少存在一点x，使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）求函数的导数，令导数等于零，解方程，再求出函数f（x）的导数和驻点，然后列表讨论，求函数f（x）的单调区间和极值；
（II）若在区间（0，e]上存在一点x，使得f（x）＜0成立，其充要条件是f（x）在区间（0，e]上的最小值小于0即可．利用导数研究函数在闭区间[1，e]上的最小值，先求出导函数f'（x），然后讨论研究函数在[1，e]上的单调性，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值．
【解析】
（I）因为，（2分）
当a=1，，
令f'（x）=0，得x=1，（3分）
又f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x （0，1） 1 （1，+∞）
f'（x） - +
f（x） ↘ 极小值 ↗

所以x=1时，f（x）的极小值为1．（5分）
f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；（6分）
（II）因为，且a≠0，
令f'（x）=0，得到，
若在区间[1，e]上存在一点x，使得f（x）＜0成立，
其充要条件是f（x）在区间[1，e]上的最小值小于0即可．（7分）
（1）当，
即a＜0时，f'（x）＜0对x∈（0，+∞）成立，
所以，f（x）在区间[1，e]上单调递减，
故f（x）在区间[1，e]上的最小值为，
由，得，即（9分）
（2）当，即a＞0时，
①若，则f'（x）≤0对x∈[1，e]成立，
所以f（x）在区间[1，e]上单调递减，
所以，f（x）在区间[1，e]上的最小值为，
显然，f（x）在区间[1，e]上的最小值小于0不成立（11分）
②若，即时，则有

x
f'（x） - +
f（x） ↘ 极小值 ↗

所以f（x）在区间[1，e]上的最小值为，
由，
得1-lna＜0，解得a＞e，即a∈（e，+∞）．（13分）
综上，由（1）（2）可知：符合题意．（14分）